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PostPosted: 21 Nov 2011 19:58 
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Joined: 05 Jan 2011 16:45
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Im deutschen Eisenbahnwesen spielen maßstäbliche Gleispläne 1:1000 eine wichtige Rolle in der Dokumentation der Infrastruktur. Diese Pläne tragen üblicherweise ein Koordinatengitter, dargestellt durch Gitterkreuze und im Normalfall auch Zahlenwerte am Blattrand. In der Mehrzahl ergeben diese Zahlenwerte, oft mit Ergänzungen führender Stellen, Gauß/Krüger-Koordinaten, bezogen auf Potsdam-Datum.

Bei einzelnen und schon mehrere Jahrzehnte alten Plänen aber wollen Gauß/Krüger-Koordinaten einfach nicht passen. Hier muss ein anderes Koordinatensystem die Grundlage bilden. Gelegentlich stößt man auf den Begriff „Soldner“, aber es bleiben Bruchstücke, eine Darstellung im Zusammenhang habe ich im Internet bislang nicht finden können.

Aus den Bruchstücken heraus aber lässt sich mit etwas intensiverer Recherche ein einigermaßen vollständiges Bild zusammensetzen, ausreichend, um die betroffenen Gleispläne versuchsweise zu georeferenzieren.


Soldner-Projektion

Der Mathematiker und Geodät Johann Georg von Soldner entwickelte die nach ihm benannte Projektion um 1800. Diese Projektion, auch Cassini-Soldner genannt, ist eine abstandstreue transversale Zylinderprojektion, bezogen auf einen Rotationsellipsoiden. Die einfachere Variante, bezogen auf die Kugel, wurde vom Mathematiker César-François Cassini 1745 definiert. Die schlichteste Form einer Zylinderprojektion ist die Plattkarte (frz. Plate Carrée), bei der Längen- und Breitengrade als rechtwinklige Koordinaten aufgetragen werden. Bei Cassini und Soldner führt die Zylinderachse nicht mehr durch die Pole, sondern wird um 90° gedreht und durchdringt an festzulegender Stelle – dem Mittelmeridian – den Äquator. Die transversale Ausrichtung ist auch bei der bekanntesten Zylinderprojektion, der Mercator-Projektion, weit verbreitet. Der Vorteil liegt darin, für weitgehend beliebige Bezugspunkte auf der Erdoberfläche kleinräumige kartesische Koordinatensysteme definieren zu können, für die innerhalb des beschränkten Geltungsbereichs näherungsweise Längen-, Flächen- und Winkeltreue gegeben ist. Bei Soldner nimmt die Verzerrung mit dem Abstand vom Mittelmeridian jedoch stärker zu als bei transversal Mercator. Die Mercatorprojektion ist zudem tatsächlich winkeltreu („konform“), Soldner nicht.

Aufgrund der Abbildung vom Rotationsellipsoiden ist die Projektion mathematisch im euklidischen Raum nicht geschlossen lösbar. Üblich sind Reihenentwicklungen, die bereits nach wenigen Gliedern Millimetergenauigkeit erreichen.

Formelwerke für Soldner mit Reihenentwicklung zur Umformung von geografischen in Projektionskoordinaten findet man an verschiedenen Stellen. Für meine Anwendung habe ich die Formelsammlung der EPSG herangezogen (European Petroleum Survey Group Geodesy, heute Teil der International Association of Oil & Gas Producers, OGP). Dort findet man eine Cassini-Soldner-Projektion. Die EPSG-Sammlung hat den Vorteil, dass Beispielrechnungen mit Zwischenergebnissen für die einzelnen Terme mitgeliefert werden.

Für Cassini-Soldner jedoch ist das Beispiel zunächst irritierend. Die Rechnung wird für das Koordinatensystem von Trinidad durchgeführt. Dessen Einheit ist nicht Meter, sondern das „Clarksche Kettenglied“. Die „Kette“ gehört zu den britischen Maßeinheiten und ist gut 20m lang. Ein „Kettenglied“ („Chain Link“) ist der hundertste Teil davon, also etwa 20cm. (Interessant ist hierbei die sonst seltene dezimale Teilung bei britischen Maßeinheiten.)

Die Formeln für Koordinatenumformungen mit Reihenentwicklung der verschiedenen Quellen sind nicht unbedingt auf den ersten Blick vergleichbar, manche Quellen können zudem fehlerhaft sein. Deswegen kann erst die Anwendung auf heimische Beispiele Sicherheit bringen, ob die Cassini-Soldner-Formeln der EPSG auch für hiesige Koordinatensysteme zutreffen.


Preußische Katasterkoordinaten

Die Hinweise im Internet auf die Koordinatensysteme der Länder im Deutschen Reich sind spärlich. Allerdings pflegte das Bundesland Berlin noch bis 2010 sein eigenes Soldner-Netz. Über Informationen zum Berliner Soldner-System gelangt man zu Angaben für dessen preußischen Vorläufer und damit zu den preußischen Koordinatensystemen insgesamt. Diese wurden anscheinend sowohl für das Liegenschaftskataster als auch für topografische Karten benutzt. Mehrfach findet man den Begriff „Preußische Katasterkoordinaten“.

Die Preußische Landesaufnahme führte die Soldner-Netze laut der gefundenen Quelle ab 1879 ein. Auch andere deutsche Länder verwendeten Soldner. Preußen wurde in 40 einzelne Kataster-Netze unterteilt. Die jeweiligen Nullpunkte sind sehr wahrscheinlich identisch mit trigonometrischen Punkten 1. Ordnung des im 19. Jahrhundert aufgenommenen Deutschen Hauptdreiecksnetzes.

Eine Liste der 40 Koordinaten-Nullpunkte konnte ebenfalls entdeckt werden, deren Authentizität ich jedoch nicht prüfen, sondern nur am Einzelfall durch Beispielrechnung belegen kann.

In dieser Liste werden die Längen noch nicht auf den Nullmeridian von Greenwich bezogen, sondern auf Ferro, der kanarischen Insel El Hierro, dem aus der Antike übernommenen gedachten westlichen Ende der damals bekannten Welt. In der Neuzeit wurde Ferro 20° westlich des Meridians von Paris festgelegt.

In den späten 20er Jahren des 20. Jahrhunderts begann Preußen, die Soldner-Koordinaten durch das Gauß/Krüger-System abzulösen. Bei Gauß/Krüger und später bei UTM ist der Koordinatenursprung des jeweiligen Netzes kein eingemessener trigonometrischer Punkt mehr, sondern der abstrakte Schnittpunkt zwischen Mittelmeridian und Äquator. Die Meridiane bei Gauß/Krüger beziehen sich auf Greenwich.

Der Abstand zwischen dem Ferro- und dem Greenwich-Meridian wurde für das deutsche Gauß/Krüger-System zu 17° 40' definiert.

In der preußischen Kataster-Anweisung Nr. XI von 1932 wird die Umformung von Soldner in Gauß/Krüger mittels Tafeln und Vordrucken beschrieben. Die Soldner-Koordinaten werden dort als sphäroidische, die Gauß/Krüger-Koordinaten als konforme Koordinaten bezeichnet. Die geografischen Koordinaten sind für beide Projektionen identisch, woraus sich ergibt, dass für beide Projektionen dasselbe geodätische Datum gilt: der Bessel-Ellipsoid mit Fundamentalpunkt Rauenberg („Potsdam-Datum“).


Negative Koordinatenwerte

Der Nullpunkt der preußischen Netze wurde nicht um einen Falsch-Ost- oder Falsch-Nord-Grundwert verschoben. Um trotzdem negative Koordinatenwerte zu vermeiden, wurden diese anscheinend im 10er-Komplement dargestellt, mit einem X an führender Stelle. Aus X94800 wird dann -5200. Leider ist das X nicht auf allen Plänen vorhanden.


Soldner-Netz für das Bundesland Berlin

In Berlin wurde auch nach dem Übergang auf Gauß/Krüger das Soldner-System beibehalten. Grund dafür war, dass bei Gauß/Krüger das Stadtgebiet im Übergang zwischen dem 4. und 5. Meridianstreifen liegt. Das ursprüngliche preußische Netz Nr. 18 (von 40) wurde allerdings in ein Netz mit der Bezeichnung Nr. 88 überführt, das sich durch ein Falsch-Ost von 40000 und ein Falsch-Nord von 10000 vom Original unterscheidet. Hierdurch werden negative Koordinaten vermieden, einfacher, als das mit 10er-Komplement und X-Notation möglich ist.

Ab 2010 wird Soldner-Berlin durch UTM/ETRS89 abgelöst. Berlin liegt bei UTM vollständig in der Zone 33, wodurch anders als bei Gauß-Krüger eine Teilung des Stadtgebietes in zwei Systeme vermeiden wird.


Proberechnungen

Kaum eine der gefundene Internet-Quellen war eine Primärquelle. Die in den Quellen gemachten Angaben, meine Schlussfolgerungen daraus und deren Implementierung in Software mussten durch Rechenbeispiele mit konkreten Koordinatenwerten geprüft werden. Es sollte bestätigt werden, dass:
  • die Cassini-Soldner-Formeln der EPSG auch für die preußischen Katasterkoordinaten anwendbar sind,
  • der Bessel-Ellipsoid mit dem Fundamentalpunkt Rauenberg gilt (Potsdam-Datum),
  • die in der Liste der 40 Netze angegebenen Nullpunkte zutreffen,
  • negative Koordinaten im 10er-Komplement in X-Notation dargestellt werden.
Die Verifikation erfolgte an Hand von Beispielen aus drei der 40 Netze plus neues Netz 88 Soldner-Berlin.
  1. Das Landesvermessungsamt NRW gibt in einer Informationsschrift ein Zahlenwert- Beispiel für das Netz 38 (Köln) an. Die Umformung für einen Punkt bei Siegen erfolgt zwischen Soldner und Gauß/Krüger, 2. Meridianstreifen. Hier liegt gleiches geodätisches Datum vor. Der Hochwert der Soldnerkoordinaten dieses Beispiels weist X-Notation auf.
  2. Für das Netz 18 (Müggelberg, für Berlin) wurde eine Umformung zwischen geografischen und Soldner-Koordinaten verglichen. Dieses Rechenbeispiel verwendete Formeln aus einer Schrift der TU Karlsruhe.
  3. Für das Berliner Netz 88 wurden Koordinatenwerte einer Liste der Fachhochschule für Technik Berlin verglichen. Die hier geografischen Koordinaten dieses Beispiels bezogen sich auf ETRS89.
  4. Schließlich wurde ein Gleisplan 1:1000 georeferenziert, dessen „unbekanntes“ Koordinatensystem einen Nordpfeil mit der Beschriftung „Nullpunkt Peter-Paul-Kirche-Bochum“ aufwies. Dies ist der Ursprung des preußischen Netzes Nr. 33. Der Wertebereich der Hochwerte deutete auf X-Notation, ohne dass das X vorhanden war. Der georeferenzierte Plan wurde zur Prüfung auf Übereinstimmung mit einem Ausschnitt der Deutschen Grundkarte 1:5000 hinterlegt, die über WMS in UTM/WGS84-Koordinaten bezogen wurde. (Im Rahmen der hier angestrebten Genauigkeit wird WGS84 mit ETRS89 gleichgesetzt.)
In allen vier Fällen wurde gute Übereinstimmung erzielt. Die Zahlenbeispiele zeigten Abweichungen kleiner 1 m. Für die drei betrachteten Beispielnetze – Netz 88 wird dem Netz 18 zugeschlagen – stimmen offensichtlich auch die Nullpunkte.

Bilder zu Rechenbeispiel 4:

Plan georeferenziert auf Soldner-Netz Nr. 33. Übereinstimmung des Gitters mit den Plankoordinaten. Darstellung des Hochwertes von 94800 (eigentlich X94800) als -5200.

Image

Plan hinterlegt mit DGK5 über WMS, UTM/WGS84. Gute Passgenauigkeit.

Image



Die Software-Implementierung wurde daher in TransDEM 2.2 als „Preußische Katasterkoordinaten“ eingebaut. Die Nullpunkte aller 40 preußischen Netze sind hinterlegt. Auch das Netz 88 für Berlin wurde aufgenommen, als eigenständiges System „Berlin Soldner“.


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